Arithmetica modularis
Horologium tempus monstrat secundum modulum 12.
Arithmetica modularis est arithmetica numerorum integrorum ratio. Theoria arithmeticae modularis a Carolo Friderico Gauss in Disquisitionibus Arithmeticis (anno 1801) edita est.
Numeri integri a et b dicuntur congrui secundum m si differentia b - a per numerum m dividi potest (sive numerus m differentiam b - a metitur, sive (b - a)/m est integer). Modulum appellamus m, et congruentiam notatione
Index
1 Proprietates
2 Exemplum
3 Nexus externi
4 Bibliographia
Proprietates |
Numeri congrui in arithmetica modulari sunt numeris aequalibus in arithmetica ordinaria similes:
- a≡a{textstyle aequiv a}
- Si a≡b{textstyle aequiv b}, erit b≡a{textstyle bequiv a}
- Si a≡b{textstyle aequiv b} et b≡c{textstyle bequiv c}, erit a≡c{textstyle aequiv c}
- Si a≡b{textstyle aequiv b} et c≡d{textstyle cequiv d}, erit a+c≡b+d{textstyle a+cequiv b+d}
- Si a≡b{textstyle aequiv b} et c≡d{textstyle cequiv d}, erit ac≡bd{textstyle acequiv bd}
- Si a≡b{textstyle aequiv b}, erit ak≡bk{textstyle a^{k}equiv b^{k}}(ubi k≥0{textstyle kgeq 0})
At si ka≡kb(modm){textstyle kaequiv kb{pmod {m}}}, poterunt a et b esse incongrui.
- Si autem ka≡kb(modm){textstyle kaequiv kb{pmod {m}}} et k ad m est primus, erit a≡b{textstyle aequiv b}.
Si a≡b(modm){textstyle aequiv b{pmod {m}}}, poterunt ca{textstyle c^{a}}et cb{textstyle c^{b}}esse incongrui secundum modulum m.
- Si autem a≡b(modφ(m)){textstyle aequiv b{pmod {varphi (m)}}} (ubi φ est Euleri functio φ) et c ad m est primus, erit quidem ca≡cb(modm){textstyle c^{a}equiv c^{b}{pmod {m}}} (theorema Euleri).
Exemplum |
Exempli causa, ponamus modulum 6; habemus 5+8≡1(mod6){textstyle 5+8equiv 1{pmod {6}}}, quia 5 + 8 = 13, et 13 - 1 per 6 divisibilis est.
Secundum modulum 6, numeros hoc modo addimus:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
Etiam possumus multiplicare secundum modulum 6:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 | 0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Quod 6 est numerus compositus, habemus numeros a, b ut sit a × b ≡ 0: 2 × 3, 4 × 3. (Quod, sine modulo, 2 × 3 = 6 et 4 × 3 = 6 × 2: hoc est, 6 metitur 2 × 3 et 4 × 3.) Si autem modulus est numerus primus, integri secundum talem modulum sunt corpus.
Nexus externi |
 | Vicimedia Communia plura habent quae ad arithmeticam modularem spectant. |
De arithmetica modulari apud Wolfram MathWorld
Bibliographia |
Gauss, Carolus Fridericus. 1801. Disquisitiones arithmeticae. Lipsiae: Fleischer. Retractatus Hildesheim: Olms-Wiedmann, 2006, cum introductione a Norbert Schappacher scripta.
