Brtdku

Copia^[1] in mathematica est quorundam elementorum mathematicorum collectio. Secundum definitionem Georgii Cantoris, "copia est comprehensio elementorum cogitationis nostrae bene discretorum in unum". Quae definitio omni rigore mathematico carens postea substituta est axiomatis a Zermelo et Fränkel positis, quibus efficitur, ut antinomia Russelliana (de copia copiarum, quae semet ipsas non continent, num se ipsam contineat) excludatur.

In philosophia, copia dicitur obiecta abstracta.^?

Denotationes et definitiones |

Denotationes |

• Copiae denotari solent parenthesibus "{" et "}" usurpatis initium aut finem copiae indicentibus. Sunt duae formae copiae: una elementa enumerans, exemplo {1,2} aut {Gaius, Petrus, Marcus}. Altera elementa describens variabili vel variabilibus et sententia vel sententiis usa: Ad quae elementa sententia sequens (praedicatum) pertinet, ante symbolis : aut | notatur variabilibus in parenthesibus "(" et ")" iterum adiectis. Ergo: {x: S(x)}.{displaystyle lbrace x: S(x)rbrace .} Si x0{displaystyle x_{0}} elementum huius copiae sit (id est: valet praedicatum variabili x0{displaystyle x_{0}}), notatur x0∈{x:S(x)}.{displaystyle x_{0}in lbrace x:S(x)rbrace .}
  

• Tales x{displaystyle x} solent esse in copia superiore (id est: cuncta elementa quae illi etiam huic aliis fortasse addiditis insunt). Sit X{displaystyle X} talis copia superior, tum scribi solet {x∈X:S(x)}.{displaystyle lbrace xin X:S(x)rbrace .} Ut indicatur X talem esse copiam superiorem, scribi solet X⊃{x∈X:S(x)}{displaystyle Xsupset lbrace xin X:S(x)rbrace } aut {x∈X:S(x)}⊂X.{displaystyle lbrace xin X:S(x)rbrace subset X.}
  

Definitiones |

• Copia cui nulla elementa insunt vacua vel inanis appellatur. Notatur symbolis {}{displaystyle lbrace rbrace } vel ∅.{displaystyle emptyset .}
  

• Copiae duae A,B{displaystyle A,B} eaedem vel aequae appellantur, si copiae alteri A{displaystyle A} eadem elementa ac alteri copiae B{displaystyle B} insunt. Aequivalens, si A⊂B{displaystyle Asubset B} et B⊂A{displaystyle Bsubset A}. Ergo: A=B⇔A⊂B∧B⊂A.{displaystyle A=BLeftrightarrow Asubset Bland Bsubset A.}
  

• 
  Coniunctioni duarum pluriumve copiarum omnia elementa e quaquam illarum insunt. Notatur symbolo ∪{displaystyle cup }. Ergo: Sint A={x:S1(x)}{displaystyle A=lbrace x:S_{1}(x)rbrace } et
  B={y:S2(y)}.{displaystyle B=lbrace y:S_{2}(y)rbrace .} Tum:
  A∪B={z:S1(z) vel S2(z)}={z:S1(z)∨S2(z)}={x∈A∨y∈B}.{displaystyle Acup B=lbrace z:S_{1}(z){text{ vel }}S_{2}(z)rbrace =lbrace z:S_{1}(z)lor S_{2}(z)rbrace =lbrace xin Alor yin Brbrace .}
  

• 
  Sectioni duarum pluriumve copiarum sola ea elementa insunt, quae in unaquaquam eorum inveniuntur. Notatur symbolo ∩{displaystyle cap }. Ergo: Sint
  A={x:S1(x)}{displaystyle A=lbrace x:S_{1}(x)rbrace } et B={y:S2(y)}.{displaystyle B=lbrace y:S_{2}(y)rbrace .} Tum:
  A∩B={z:S1(z) atque S2(z)}={z:S1(z)∧S2(z)}={x∈A∧y∈B}.{displaystyle Acap B=lbrace z:S_{1}(z){text{ atque }}S_{2}(z)rbrace =lbrace z:S_{1}(z)land S_{2}(z)rbrace =lbrace xin Aland yin Brbrace .}
  

• 
  Differentiae duarum copiarum A{displaystyle A} et B{displaystyle B} elementa ex A{displaystyle A} sola insunt quae copiae B{displaystyle B} non insunt. Notatur symbolo . Ergo: Sint A={x:S1(x)}{displaystyle A=lbrace x:S_{1}(x)rbrace } et
  B={y:S2(y)}.{displaystyle B=lbrace y:S_{2}(y)rbrace .} Tum:
  A∖B={z:S1(z) atque non S2(z)}={z:S1(z)∧¬S2(z)}={x∈A∧y∉B}.{displaystyle Asetminus B=lbrace z:S_{1}(z){text{ atque non }}S_{2}(z)rbrace =lbrace z:S_{1}(z)land neg S_{2}(z)rbrace =lbrace xin Aland ynotin Brbrace .}
  

• 
  Productum Cartesianum duarum copiarum A{displaystyle A} et B{displaystyle B}, quod cruce ×{displaystyle times } denotatur, est copia haec: A×B={(x/y):x∈A atque y∈B}={(x/y):x∈A∧y∈B}.{displaystyle Atimes B=lbrace (x/y):xin A{text{ atque }}yin Brbrace =lbrace (x/y):xin Aland yin Brbrace .}
  

Definitones super descriptae visuales per diagrammata Venniana factae:

• 
  

  

  
  

  
  

  A⊂B{displaystyle Asubset B}
  Copia A est copiae B inferior
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  A∪B{displaystyle Acup B}
  Coniunctio copiarum A et B
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  A∩B{displaystyle Acap B}
  Sectio copiarum A et B.
  

  
  

  
  


• 
  

  

  
  

  
  

  A∖B{displaystyle Asetminus B}
  Differentia copiarum A et B
  

  
  

  
  

Exempla |

Sint A={1,2,4,7}{displaystyle A=lbrace 1,2,4,7rbrace } et B={1,3,5,7,9}{displaystyle B=lbrace 1,3,5,7,9rbrace }.

Tum:

• 
  A∪B={1,1,2,3,4,5,7,7,9}={9,7,1,2,3,4,5}.{displaystyle Acup B=lbrace 1,1,2,3,4,5,7,7,9rbrace =lbrace 9,7,1,2,3,4,5rbrace .} Licet enim elementa semel vel compluries scribere. Ne ordo quidem interest.

• A∩B={1,7}.{displaystyle Acap B=lbrace 1,7rbrace .}

• A∖B={2,4}.{displaystyle Asetminus B=lbrace 2,4rbrace .}

• A×B={(1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9)}.{displaystyle Atimes B=lbrace (1/1),(1/3),(1/5),(1/7),(1/9),(2/1),(2/3),(2/5),(2/7),(2/9),(4/1),(4/3),(4/5),(4/7),(4/9),(7/1),(7/3),(7/5),(7/7),(7/9)rbrace .}

Aequatio aliqua ut copia describens denotari potest et solutio eius aequationis copia enumerans est. Quae saepe - praecipue in scholis - copia solutionum appellatur. Aequatio quadratica exemplo:

{x∈R:x2−2x−3=0}={−1;3}.{displaystyle lbrace xin mathbb {R} :x^{2}-2x-3=0rbrace =lbrace -1;3rbrace .}

Notae |

Nexus interni

• Copia vacua


• Theoria copiarum