Brtdku

-2 Latinitas huius rei dubia est. Corrige si potes. Vide {{latinitas}}.

Descriptio artistica de relativitatis generalis probatione quadam instrumento speculatorio spatiali Cassini facta. Monstrata sunt signalia radiophonica inter Tellurem et instrumentum (unda viridis), quae prope solem tardantur ob flexionem spatii temporisque (lineae caerulae) ibi.

Relativitas generalis, seu theoria relativitatis generalis, est theoria physica de vi gravitatis ab Alberto Einstein anno 1915 edita. Quae theoria theoriam relativitatis specialis Einsteinianam et theoriam gravitatis Newtonianam coniungit, adamussim considerando corporis motum e perspectiva ubi corporis acceleratio gravitatis causa est effectus flexionis spatio-temporalis.

Einstein, novam theoriam petens, in Principium Aequivalentiae et in geometria differentialis de superficiebus curvis maxime confisus est. Aequatio Einsteniana, quae curvaturam spatio-temporalem ad tensorem Tμν{displaystyle T_{mu nu }} energiae-motusque attribuit, patefacit clarissimum constantem cosmologicum Λ{displaystyle Lambda }, qui sicut vacui energia interpretari potest.

Quamquam theoriae cum multis observationibus terrestialibus congruit, physici periti multum sollicitati sunt ob problemata de valore Λ{displaystyle Lambda }, deque possibili incongruentia cum observationibus subtilibus expansionis mundi universi, deque incongruentia cum theoria quantica.

De limitibus theoriae Newtonianae |

Secundum theoriam Newtonianam, omnibus aliis planetis absentibus, circum corpus massivum planeta quaedam eandem ellipsem perfectam (gyrum rubrum) iterum interumque sequitur aeterniter. Alii planetae praesentes efficiunt hanc ellipsem paulatim precessare (gyrum caerulum). Relativitatis generalis causa, autem, precessio ab astronomis theoria Newtoniana praecenta discrepat cum precessione Mercuii anno 1859 observata.

Quid Newtonus de sua lege sentiret |

Anno 1687, Isaacus Newtonus in libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica legem mathematicam de gravitatis vi inter corpora deduxit veram, omnia gyra planetarum circum solem adamussim explanans. Lex quam Newtonus deduxit ab legibus Keplerianis fuit:^[1]

F→12=−Gm1m2r2r^12{displaystyle {vec {mathbf {F} }}_{12}=-G{frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},mathbf {hat {r}} _{12}}

ubi

• 
  F→12{displaystyle {vec {mathbf {F} }}_{12}} est vis attractus in corpus 1 ob corpus 2,


• 
  G est constans gravitatis quod valet vere ac 6.67 × 10^-11 Nm²/kg²,


• 
  m₁ et m₂ sunt massae corporum,


• 
  r est intervallum inter media corpora, et


• 
  r^12 =def r→1−r→2|r→1−r→2|{displaystyle mathbf {hat {r}} _{12} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {{vec {mathbf {r} }}_{1}-{vec {mathbf {r} }}_{2}}{vert {vec {mathbf {r} }}_{1}-{vec {mathbf {r} }}_{2}vert }}} est directio ad corpus 1 a corpore 2.

Newtonus autem ipse hanc legem credidit imperfectam, quod, secundum eam, vires gravitationales sine ulla mora per spatium translatae sunt.^[2]

De quanto precessio Mercurii a theoria discrepet |

Saecula duo haec theoria Newtoniana classica summa ratio fuit, usque ad annum 1859 cum astronomi patefecerunt discrepantiam inter precessionem perihelii Mercurii observatam et precessionem aequationibus Newtonianis computatam.^[3] Discrepabant, ut tabula infera monstrat, solo circiter 43 arcus secundis rotationis in quoque saeculo. ^[4]

Nemo poterat suspicari discrepantiam tam parvulam esse indicium novae theoriae eam Newtonianam surrogaturae!

De incongruentia cum principio relativitatis |

Nova relativitatis specialis theoria, ab Alberto Einstein anno 1905 prolata, multa experimenta explicavit, sed contraria erat theoriae gravitatis Newtonianae. Secundum relativitatis specialis principia:^[5]

• Omnes vires infra lucis celeritatem movendae sunt, sed secundum theoriam Newtonianam vires gravitationales trans distantias inter corpora fiunt sine mora, quae res Newtonum ipsum multum sollicitabat;


• Corporis massa a celeritate sua dependet, sed haec dependentia efficit ut magnitudo gravitatis, celeritate tantum mutans, principium relativitatis plene violet.

Quam ob rem Einstein novam theoriam gravitatis mox petiturus erat. Nova theoria relativitatis generalis ambo problemata solvit: omnes vires gravitationales celeritate lucis movent et magnitudo gravitatis tantum corporis celeritate mutat, ut principium relativitatis conservetur. Nova theoria quoque adamussim precessionis perihelii Mercurii discrepantiam explanavit.

Principia relativitatis generalis |

Principium aequivalentiae |

Pila solum similiter cadit, et in rucheta accelerata (cui imago ad laevam) et in Tellure (ad dextram).

Einstein, novam theoriam petens, maxime confisus est in Principium Aequivalentiae, quae ad systemata coordinatorum spectat, in forma:

Physicae leges in gravitatis campo esse identicas legibus in systemate coordinatorum accelerato,

quam postea Einstein dicit fuisse felicissimam cogitationem suae vitae.

Percepit Einstein quod, secundum hoc principium, cum lucis traiectoria est curva in rucheta accelerata, tam curva necesse est prope corpus massivum. Et, quod in rucheta omnes effectus ob accelerationem per coordinatorum transformationes dantur, possumus expectare omnes effectus prope corpus massivum ob gravitatem per coordinatorum mutationes dari.

Secundum principium relativitatis, non possumus per experimenta localia nostrum motum constantem detegere. Item, secundum principium aequivalentiae, non possumus distinguere inter motum constantem et motum libere cadendi. Ideo, quod libere cadendi status quodam transformationum coordinatorum effectu correspondet, necesse est quod omnes leges physicas sint covariantes sub coordinatorum transformationibus, id est ut legum forma sit immutabilis sub coordinatorum tranformationibus.

De tensore metrico gravitate absente |

Secundum theoriam relativitatis generalis, materia ipsa natura flectit spatium et tempus, unde est vis gravitatis. Difficilis est animo fictu flexio dimensionum trium, difficilior quattuor, ergo haec imago modo monstrat flexionem duarum.

Einstein, ad theoriam relativitatis generalis conficiendam, usus est theoria geometriae differentialis Bernardi Riemann et Caroli Gauss de superficiebus curvis.

Hac in theoria per tensorem gμν{displaystyle g_{mu nu }} metricum habemus intervallum differentiale quadratum

ds2=gμνdxμdxν{displaystyle ds^{2}=g_{mu nu },dx^{mu },dx^{nu }}

inter duo puncta xμ{displaystyle x^{mu }} et xμ+dxμ{displaystyle x^{mu }+dx^{mu }}. Habemus quoque contextu spatio-temporali gravitate absente dxμ=(dx,dy,dz,cdt){displaystyle dx^{mu }=(dx,dy,dz,cdt)} et

gμν=(100001000010000−1){displaystyle g_{mu nu }={begin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&1&0\0&0&0&-1end{pmatrix}},}.

Cum tensor gμν{displaystyle g_{mu nu }} partes seu componentes habet quae a positione temporeque dependent, id est si gμν=gμν(xμ,t){displaystyle g_{mu nu }=g_{mu nu }(x^{mu },t)}, hoc significat spatium quattuor dimensionum, id est trium directionum ac temporis, deformatum est, sicut in figura supera videri potest.

De tensore metrico prope corpus massivum irrotans |

Aequationes Einstenianas circum massivum corpus (massa M) irrotans sequentem solutionem habent, quae a Schwarzschild anno 1916 patefacta est,^[6]

ds2=−c2(1−2Gmc2r)dt2+(1−2Gmc2r)−1dr2+r2dΩ2{displaystyle ds^{2}=-c^{2}left(1-{2Gm over c^{2}r}right)dt^{2}+left(1-{2Gm over c^{2}r}right)^{-1}dr^{2}+r^{2}dOmega ^{2}},

unde dΩ2=dθ2+sin2⁡θdϕ2{displaystyle dOmega ^{2}=dtheta ^{2}+sin ^{2}theta ;dphi ^{2}} est elementus anguli solidi infinitesimalis et coordinatis polaribus xμ=(rsin⁡θcos⁡ϕ,rsin⁡θsin⁡ϕ,rsin⁡θ,ct){displaystyle x^{mu }=(r,sin theta ,cos phi ,r,sin theta ,sin phi ,r,sin theta ,ct),}.

Gurges ater apud nubem Megallanicam.

Secundum hanc solutionem corpus quodlibet cuius radius est minor quam radius Schwarzschildianus

rs=2GMc2{displaystyle r_{s}={frac {2GM}{c^{2}}}}

in gurgitem atrum transformatur.^[7][8] Intra regionem radii Schwarzschildiani, tam curvum est continuum spatiotemporale, ut ne lux quidem ex interiore parte exire possit (haec est ratio nominis atri) et omnia quae in gurgitem atrum cadant semper in eo loco perseverabunt.

De motu geodaetico |

Secundum principium aequivalentiae, omnes leges physicae fundamentales oportet sic scribere, ut eae sub tranformationes coordinatorum immutabiles sint. Nobis non oportet leges fundamentales derivativo ordinario scribere, exempli gratia, quia, ob directiones cardinales mutantes, hic derivativus sub coordinatorum transformationes mutat.^[5] Ne leges mutentur, idoneus ad leges scribendas est derivativus covarians ∇ℓVm{displaystyle nabla _{ell }V^{m}} vectoris Vm{displaystyle V^{m}} cuiusdam in superficie quadam, qui definitur ac

∇ℓVm=∂Vm∂xℓ+ΓmkℓVk {displaystyle nabla _{ell }V^{m}={frac {partial V^{m}}{partial x^{ell }}}+Gamma ^{m}{}_{kell }V^{k} },

ubi quantitates Christofelae

Γγαβ=12gγδ(∂αgβδ+∂βgαδ−∂δgαβ){displaystyle {Gamma ^{gamma }}_{alpha beta }={frac {1}{2}}g^{gamma delta }(partial _{alpha }g_{beta delta }+partial _{beta }g_{alpha delta }-partial _{delta }g_{alpha beta })}

describunt quo modo directiones cardinales mutant.

Cursus geodaeticus, in physica relativistica, dicitur ille cursus quem particula libere cadens sequitur. Est etiam cursum secundum superficiem quod inter duo puncta intervallum minimum accumulat. Quia principium aequivalentiae dicit liberi cadendi statum esse motui gravitate absente indistinguibilem, speramus 4-velocitas Vm=dxmdτ{displaystyle V^{m}={frac {dx^{m}}{dtau }}} sit constans secundum cursum et acceleratio covarians ∇ℓVm=0{displaystyle nabla _{ell }V^{m}=0}. Aequivalenter, supponiendo in definitione derivativi covariantis supera, obtinemus

d2xadτ2+Γbcadxbdτdxcdτ=0{displaystyle {frac {d^{2}x^{a}}{dtau ^{2}}}+Gamma _{bc}^{a}{frac {dx^{b}}{dtau }}{frac {dx^{c}}{dtau }}=0},

quae formula dat corporis accelerationem, etiam integrando cursum geodaeticum, ob curvaturam spatio-temporalem.

De curvatura spatio-temporali |

In geometria differentiali, curvatura spatio-temporalis per tensores derivatos a tensore gμν{displaystyle g_{mu nu }} metrico quantificatur. Habemus igitur tensorem Riemannianum^[9]

Rδαβγ=∂αΓδβγ−∂βΓδαγ+ΓδαεΓεβγ−ΓδβεΓεαγ{displaystyle {R^{delta }}_{alpha beta gamma }=partial _{alpha }{Gamma ^{delta }}_{beta gamma }-partial _{beta }{Gamma ^{delta }}_{alpha gamma }+{Gamma ^{delta }}_{alpha varepsilon }{Gamma ^{varepsilon }}_{beta gamma }-{Gamma ^{delta }}_{beta varepsilon }{Gamma ^{varepsilon }}_{alpha gamma }},

Vector, circum limitem clausum transportatus, angulo torquetur α{displaystyle alpha } in proportione areae inclusae.

Effectus tensori Ricciani in volumine tridimensionali sphaerico.

tensorem Riccianum

Rαγ=Rβαβγ{displaystyle R_{alpha gamma }={R^{beta }}_{alpha beta gamma }},

et curvaturam scalarem

R=gαγRαγ{displaystyle R=g^{alpha gamma }R_{alpha gamma },}.

Tensor Riemannianus fundamentalis dat quanto vector Vμ{displaystyle V^{mu }} quidam mutat vel torquetur postquam is circum rectangulum infinitesimale dxνdxσ{displaystyle dx^{nu }dx^{sigma }} transportatur, ut vector novus

V′μ=Vμ+RνστμdxνdxσVτ{displaystyle V'^{mu }=V^{mu }+R_{nu sigma tau }^{mu }dx^{nu }dx^{sigma }V^{tau }}.

Idem tensor dat accelerationem Aμ{displaystyle A^{mu }} corporis 1 relativam positioni corporis 2 in statu libere cadendi

Aμ=−RνστμV1νdxσV2τ{displaystyle A^{mu }=-R_{nu sigma tau }^{mu }V_{1}^{nu }dx^{sigma }V_{2}^{tau }}

ubi Vi{displaystyle V_{i}} denotat 4-velocitas corporis i et dxσ{displaystyle dx^{sigma }} positionem corporis 2 corpori 1 relativam.

Ex hac accelerationis formula, significationem tensoris Ricciani respectu theoriae relativitatis possumus extrahere. Ad propositum, imaginamus multas particulas statu libere cadendi vel quiescentes, cuius velocitates Vν{displaystyle V^{nu }} tempore t=0{displaystyle t=0} sunt identicae, in sphaera voluminis V{displaystyle mathbb {V} } infinitesimalis quadam circum corpus 1 sitas. Summando super omnibus positionibus dxσ{displaystyle dx^{sigma }} in sphaera et omnibus directionibus μ{displaystyle mu }, obtinemus^[9]

V¨V=−RνστσVνVτ=−RντVνVτ=−R44c2{displaystyle {frac {ddot {mathbb {V} }}{mathbb {V} }}=-R_{nu sigma tau }^{sigma }V^{nu }V^{tau }=-R_{nu tau }V^{nu }V^{tau }=-R_{44}c^{2}}

ubi ultimo passo adsumimus particulas quiescentes esse, i.e. Vν=(0,0,0,c){displaystyle V^{nu }=(0,0,0,c)}. Possumus igitur intepretare tensorem Riccianum ut voluminis fluxionem, curvaturae spatio-temporalis causa, quae in casu particularum quiescentum formam simplissimam adsumit.

De tensore energiae motusque |

In physica relativistica tensor energiae motusque Tαβ{displaystyle T_{alpha beta }} sic definitur ut 4-motus fluxio per aream A in directionem nβ{displaystyle n^{beta }} correspondat

dPαdt=TαβnβA{displaystyle {frac {dP_{alpha }}{dt}}=T_{alpha beta };n^{beta }A}

Hac definitione habemus

Tαβ=(GxxGxyGxzSxcGyxGyyGyzSycGzxGzyGzzSzcSxcSycSzcW){displaystyle T_{alpha beta }={begin{pmatrix}G_{xx}&G_{xy}&G_{xz}&{frac {S_{x}}{c}}\G_{yx}&G_{yy}&G_{yz}&{frac {S_{y}}{c}}\G_{zx}&G_{zy}&G_{zz}&{frac {S_{z}}{c}}\{frac {S_{x}}{c}}&{frac {S_{y}}{c}}&{frac {S_{z}}{c}}&W\end{pmatrix}}}

ubi

• 
  W{displaystyle W} est densitas energiae,


• 
  (Sx,Sy,Sz){displaystyle (S_{x},S_{y},S_{z})} est densitas motus, et


• 
  Gii{displaystyle G_{ii}} est pressio mechanica in directionem i,


• 
  Gik{displaystyle G_{ik}} est contentio virium in superficie i in directionem k.

Pro liquore ideali inviscido qui calorem non conducit, possumus scribere

Tαβ=(ρ+pc2)uαuβ+pgαβ{displaystyle T_{alpha beta },=(rho +{p over c^{2}})u_{alpha }u_{beta }+pg_{alpha beta }}.

ut gravitate paene absente

gαβ=diag(1,1,1,−1){displaystyle g_{alpha beta },=mathrm {diag} (1,1,1,-1)},

et celeritate paene zeri

uαuβ=diag(0,0,0,c2){displaystyle u_{alpha }u_{beta },=mathrm {diag} (0,0,0,c^{2})},

habeamus

Tαβ=(p0000p0000p0000ρc2).{displaystyle T_{alpha beta }=left({begin{matrix}p&0&0&0\0&p&0&0\0&0&p&0\0&0&0&rho c^{2}\end{matrix}}right).}

Lex gravitatis Einsteiniana |

Secundum aequationem Einsteiniam, si constans cosmologicus esset zerum, continuum spatio-temporale expandere necesse est. Et si expandit, necesse est continuum fuisse olim minus quam hodie--punctum singulare tantum! Mundus noster igitur potest olim fragore maximo incipere ex puncto singulari.

Secundum theoriam Einsteinianam, massa (sive energia), tensore Tμν{displaystyle T_{mu nu }} energiae motusque data, curvaturam spatio-temporalem efficit. Aequatio Einsteniana

Rμν−12gμνR−Λgμν=8πGc4Tμν{displaystyle R_{mu nu }-{frac {1}{2}}g_{mu nu }R-Lambda g_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu nu },},

igitur curvaturam spatio-temporalem ad tensorem Tμν{displaystyle T_{mu nu }} attribuit, unde Rμν{displaystyle R_{mu nu }} est tensor Riccianus, R{displaystyle R} curvatura scalaris, et Λ{displaystyle Lambda } clarissimus constans cosmologicus, qui sicut vacui energia interpretari potest.

Ad hanc aequationem, Einstein modo per multa conata pervenit. Sine constante Λ{displaystyle Lambda }, Einstein mox repperit concentrationem^[10] massae energiaeque in mundo universo esse tam parvam, ut secundum suam aequationem continuum spatio-temporale assidue expanderet. Haec expansio autem ei apparuit tam absurda, ut in prima editione suae theoriae Einstein constantem Λ{displaystyle Lambda } proprosuerit magnitudinem tantum habere ut expansionem adusque consistat. Et postea, cum Edwinus Hubble ex stellarum observationibus legem deduxit,^[11] quae continuum universum sic expandere sicut Λ≈0{displaystyle Lambda approx 0} dicit, Einstein funditus constantem reliquit, eam maximum erratum suae vitae dicens.^[12]

Hodie observationes astronomicae monstrant Λ{displaystyle Lambda } non posse excedere 10^-46 km^-2.^[13]

De interpretatione legis Einsteinianae |

Lex Einsteinana, 16 aequationes differentiales gradus secundi in se continens, est instricatissima legi Newtonianae composita. Quid lex significat?

Memoramus, cum particulae quiescentes quaedam tempore t=0{displaystyle t=0} volumen V{displaystyle mathbb {V} } complent, aequationem Riccianam

V¨V=−R44c2{displaystyle {frac {ddot {mathbb {V} }}{mathbb {V} }}=-R_{44}c^{2}}

eorum voluminis fluxionem dare curvaturae causa. Aequationem Einsteinianam per gμν{displaystyle g^{mu nu }} multiplicando, et Λ=0{displaystyle Lambda =0}, gμνgμν=4{displaystyle g^{mu nu }g_{mu nu }=4}, et gμνRμν=R{displaystyle g^{mu nu }R_{mu nu }=R} supponendo, statim obtinemus

R=−8πGc4Tμμ{displaystyle R=-{frac {8pi G}{c^{4}}}T_{mu }^{mu },}.

Aequationem igitur Einteinianam possumus rescribere

Rμν=8πGc4(Tμν−12gμνTαα){displaystyle R_{mu nu }={frac {8pi G}{c^{4}}}left(T_{mu nu }-{frac {1}{2}}g_{mu nu }T_{alpha }^{alpha }right),}

unde, supponendo etiam Tαα=Px+Py+Pz−W{displaystyle T_{alpha }^{alpha }=P_{x}+P_{y}+P_{z}-W} et g44=−1{displaystyle g_{44}=-1,} et adsumendo omnem energiae densitatem W=ρc2{displaystyle W=rho c^{2},} esse ob materiae densitatem ρ{displaystyle rho }, habemus

V¨V=−R44c2=−4πG(ρ+Px+Py+Pzc2)≈−4πGρ{displaystyle {frac {ddot {mathbb {V} }}{mathbb {V} }}=-R_{44}c^{2}=-4pi Gleft(rho +{frac {P_{x}+P_{y}+P_{z}}{c^{2}}}right)approx -4pi Grho },

ultimo passo quoque adsumendo condicionem Px+Py+Pzc2≪ρ{displaystyle {frac {P_{x}+P_{y}+P_{z}}{c^{2}}}ll rho }, quae fere semper tenet.

Lex Einsteiniana igitur possumus sic dicere: cum manus particularum quiescentum incipit libere cadere, eius volumen incipit decrescere secundum productum voluminis initialis et summae densitatis energiae in centro atque pressionum directiones x, y, et z versus.^[9]

Quomodo legem Newtonianam ex Einsteiniana derivare |

Quod lex Einsteinana haud modo apparet legi Newtonianae similis, nobis oportet etiam investigare quomodo legem Newtoniana e lege Einsteiniana derivare.

Ex aequatione, quae volumen perditum propter massam terrestrem ρV0=M{displaystyle rho mathbb {V} _{0}=M} dat,

V¨V=−4πGρ{displaystyle {frac {ddot {mathbb {V} }}{mathbb {V} }}=-4pi Grho },

possumus aequationem Newtonianam continuo potiri,^[9] quia, quoniam V˙=0{displaystyle {dot {mathbb {V} }}=0} adsumimus, bis integrando obtinemus, post tempus δt{displaystyle delta t},

δV=−4πGρV0(12δt2){displaystyle delta mathbb {V} =-4pi Grho mathbb {V} _{0}left({frac {1}{2}};delta t^{2}right)}.

Etiam, quoniam distantia r{displaystyle r} radium terrestrem R{displaystyle R} excedens volumen V=43πr3{displaystyle mathbb {V} ={frac {4}{3}}pi r^{3}} complectitur, simul habemus

δV=4πr2δr{displaystyle delta mathbb {V} =4pi r^{2}delta r},

ut, quoniam δr=12aδt2{displaystyle delta r={frac {1}{2}}a,delta t^{2}}, comparando obtinamus

a=2δrδt2=−GMr2{displaystyle a=2{frac {delta r}{delta t^{2}}}=-{frac {GM}{r^{2}}}},

eam quae erat demonstanda: formulam accelerationis Newtonianam.

Status theoriae hodie respectu observationibus |

Quid stellae pulsantes patefaciant |

Quid galaxiae patefaciant |

Quid expansio mundi universi patefaciat |

Ad theoriam gravitatis quanticam |

Quamvis theoria relativitatis generalis accurate phaenomena ad gravitatis vim pertinentia describit, physici relativitatem generalem cum mechanica quantica coniungere maxime volunt, quia notum est circa longitudinem Planckianam effectus quanticos ob gravitatis vim non ignorandos esse. Theoria chordarum est nostri theoria temporis quae has duas claras theorias optime coniungat, sed non plane confecta est, atque nondum experimentorum confirmationem habet. In hac descriptione vis gravitatis ex particularum minimarum gravitonorum permutationibus nascitur, quemadmodum theoria camporum quanticorum corporum attractiones describere solet, e.g., attractio electrica corporum onus electricum habentium in se mutuo ex photonorum permutationibus fiat.

Quamquam ab experimentis multis constantem cosmologicam esse minimam comprobatur, theoria camporum quanticorum illam esse permagnam praevidet, plus quam 10100{displaystyle 10^{100}} magnitudinis ab experimentis mensuratae. Nunquam aliqua theoria tam longe ab experimentis veritatibus absit et usque ad hodie hoc constantis cosmologicae problema non solutum est. Hoc autem problema supersymmetria minuit (discrepantia est circa 1050{displaystyle 10^{50}} post supersymmetriae fracturam), sed id non solvit.

Hodiernus theoriae status |

Relativitas generalis facta est mirifice prosperum gravitationis cosmologiaeque exemplar, quod hactenus omne observationis experimentique examen certum probavit; nihilominus, sunt clarae indicationes theoriae imperfectae.^[14] Quaestiones gravitatis quanti et realitatis singularitatum spatiotemporis apertae manent.^[15] Abhinc annos plusquam nonaginta divulgata, relativitas generalis exstat fertilissimus investigationis campus.^[16]

Nexus interni

Notae |

Bibliographia |

Proiectio Multiplicis Calabi-Yau, unius ex modis quibus additae dimensiones quas theoria chordarum poscit compactificantur

Simplex rete versans generis quod in gravitate quantum loop^? adhibetur

• Carroll, Sean M. 2004. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8732-3. http://spacetimeandgeometry.net/.


• Dirac, P. A. M. 1975. General Theory of Relativity. Princeton: Princeton University Press.


• 
  Einstein, Albert, H. A. Lorentz, H. Weyl, et H. Minkowski. 1952. The Principle of Relativity. A W. Perrett et G. G. Jeffery conversus. Toronti: Dover Publications.


• 
  Einstein, Albert. 1922. The Meaning of Relativity, Including the Relativistic Theory of the Non-Symmetric Field. Princeton: Princeton University Press.


• Grøn, Øyvind, et Sigbjørn Hervik. 2007. Einstein's General Theory of Relativity. Novi Eboraci: Springer. ISBN 978-0-387-69199-2.


• Landau, Lev D., et Evgeny F. Lifshitz. 1980. The Classical Theory of Fields. 4a ed. Londini: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.


• Misner, Charles W., Kip S. Thorne, Kip. S., et John A. Wheeler. 1973. Gravitation. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.


• Praecepta de relativitate generali comparata a Ioanne Baez, Ph.D., professore physicae.


• Stephani, Hans. 1990. General Relativity: An Introduction to the Theory of the Gravitational Field. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 0-521-37941-5.


• Wald, Robert M. 1984. General Relativity. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2.


• Weinberg, Steven. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Novi Eboraci: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-92567-5.

Libri populares

• Geroch, Robert. 1981. General Relativity from A to B. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-28864-1.


• Lieber, Lillian. 2008. The Einstein Theory of Relativity: A Trip to the Fourth Dimension. Philadelphia: Paul Dry Books, Inc. ISBN 978-1-58988-044-3.


• Wald, Robert M. 1992. Space, Time, and Gravity: the Theory of the Big Bang and Black Holes. Sicagi: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87029-4.

Libri pro scholis scripti

• Callahan, James J. 2000. The Geometry of Spacetime: an Introduction to Special and General Relativity. Novi Eboraci: Springer, ISBN 0-387-98641-3.


• Taylor, Edwin F., et John Archibald Wheeler. 2000. Exploring Black Holes: Introduction to General Relativity. Addison Wesley. ISBN 0-201-38423-X.

Libri pro collegiis et universitatibus scripti

• Cheng, Ta-Pei. 2005. Relativity, Gravitation and Cosmology: A Basic Introduction. Oxoniae et Novi Eboraci: Oxford University Press. ISBN 0-19-852957-0.


• Gron, O., et S. Hervik. 2007. Einstein's General theory of Relativity. Springer. ISBN 978-0-387-69199-2.


• Hartle, James B. 2003. Gravity: an Introduction to Einstein's General Relativity. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8662-9.


• Hughston, L. P., et K. P. Tod. 1991. Introduction to General Relativity. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 0-521-33943-X.


• d'Inverno, Ray. 1992. Introducing Einstein's Relativity. Oxoniae: Oxford University Press. ISBN 0-19-859686-3.


• Schutz, B. F. 2009. A First Course in General Relativity. Ed. 2a. Cantabrigiae: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88705-2.