Brtdku

Derivativum functionis

Derivativum in mathematica est functio f′(x){displaystyle f'(x)} quae ab alia functione f(x){displaystyle f(x)} derivatur per formulam

f′(x)=limh→0f(x+h)−f(x)h{displaystyle f'(x)=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

ut clivum lineae tangentis curvae y=f(x){displaystyle y=f(x)} loco x det. Functio quae derivativum habet (hoc est, functio
pro qua hic limes exstat) nominatur functio differentiabilis. Theorema fundamentale calculi dicit derivativum et integrale processus inversos esse.

Calculus infinitesimalis |

In calculi infinitesimalis lingua,

f′(x)=df(x)dx{displaystyle f'(x)={frac {df(x)}{dx}}}

ubi differentiale dx aequat infinitesimalem differentiam dx=x2−x1{displaystyle dx=x_{2}-x_{1}}((dx→0){displaystyle (dxto 0)}),
et df est differentia in functione f quae producitur ab hac differentia: df(x)=f(x2)−f(x1){displaystyle df(x)=f(x_{2})-f(x_{1})}.

Fluxiones |

Derivatum, cum variabilis x functio sit temporis t, fluxio secundum Newtonum appellatur, quia f′{displaystyle f'} commutationis (aut variationis aut fluctuationis) celeritatem dat cuisdam quantitatis f{displaystyle f}. Scripsit quidem Newtonus:

Quantitates autem quas ut sensim crescentes indefinite considero, quo distinguam ab aliis quantitatibus quae in aequationibus quibuscunque pro determinatis et cognitis habendae sunt ac initialibus literis a, b, c, &c. designatur, posthac denominabo fluentes, ac designabo finalibus literis v, x, y, et z. Et celeritates quibus singulae a motu generante fluunt et augentur (quos possim fluxiones vel simpliciter celeritates vocitare) designabo literis l, m, n, et r. Nempe pro celeritate quantitatis v ponam l et sic pro celeritatibus aliarum quantitatam x, y, et z ponam m, n, et r respective. His praemissis e vestigio rem aggredior, imprimis duorum jam modo propositorum problematum solutionem exhibiturus.^[1]

Newtonus, ut fluxiones denotaret, punctis super variabilem usus est, ita:

f′=dfdt=f˙{displaystyle f'={frac {df}{dt}}={dot {f}}},

f″=d2fdt2=f¨{displaystyle f''={frac {d^{2}f}{dt^{2}}}={ddot {f}}}.

Contentio et historia |

Postquam fere simul Newtonus methodum fluxionum et Leibnitius methodum differentialium seu infinitesimalium comminiscerunt, magna contentio incepit inter eos super quaestionem, qui primus calculum reperiat. Newtonus quidem corde habuit intellegere quomodo quantitates physicae et earum celeritates et accelerationes compututentur ut leges motus ab experimentis inducantur; Leibnitius autem corde lineae tangentis computationem et metaphysicam motus explicationem.

Notio autem numeri infinitesimalis et fluxionis late problematica a mathematicis habetur. Et non fuit ante saeculum decimooctavum cum vera calculi infinitesimalis fundamenta in notione limitum identificarentur.

Formulae utiles |

Omnes functio differentiabilis est continua, sed sunt functiones continuae non differentiabiles.

Facile est demonstrare
d(af(x))dx=adf(x)dx{displaystyle {frac {d(af(x))}{dx}}=a{frac {df(x)}{dx}}}, et
df(x)+g(x)dx=df(x)dx+dg(x)dx{displaystyle {frac {df(x)+g(x)}{dx}}={frac {df(x)}{dx}}+{frac {dg(x)}{dx}}},
si functiones f et g differentiabiles sunt.

df(x)+g(x)dx=limh→0f(x+h)+g(x+h)h{displaystyle {frac {df(x)+g(x)}{dx}}=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)+g(x+h)}{h}}}

=limh→0f(x+h)h+limh→0g(x+h)h{displaystyle =lim _{hto 0}{frac {f(x+h)}{h}}+lim _{hto 0}{frac {g(x+h)}{h}}}

=df(x)dx+dg(x)dx{displaystyle ={frac {df(x)}{dx}}+{frac {dg(x)}{dx}}}

si functiones f et g differentiabiles sunt,
d(f(x)g(x))dx=df(x)dxg(x)+f(x)dg(x)dx{displaystyle {frac {d(f(x)g(x))}{dx}}={frac {df(x)}{dx}}g(x)+f(x){frac {dg(x)}{dx}}}, et
d(f(g(x)))dx=(d(f(y))dy)y=g(x)dg(x)dx{displaystyle {frac {d(f(g(x)))}{dx}}=left({frac {d(f(y))}{dy}}right)_{y=g(x)}{frac {dg(x)}{dx}}}.

Similiter, si f(x)=axb{displaystyle f(x)=ax^{b}} (a, b quantitates constantes), derivatum f′(x)=abx(b−1){displaystyle f'(x)=abx^{(b-1)}}

Aequatio differentialis est aequatio in qua est derivativum functionis cuiusdam; solutio talis aequationis est vel functio ipsa vel approximatio valorum. Exemplum:

df(x)dx=x{displaystyle {frac {df(x)}{dx}}=x}

Solutio huius aequationis est functio exponentialis: f(x)=ex{displaystyle f(x)=e^{x}}

Notae |